Lösung zu Aufgabe 4 (Zufallsversuche)

Das dazugehörige Baumdiagramm:



Rechts neben den Pfaden ist anstelle der Ergebnisse die Anzahl von Rauchern notiert, die auf dem entsprechenden Pfad auftauchen. Für eine kompakte Schreibweise sagt man auch, dass die Anzahl von Rauchern mit der Zufallsgröße $X$ bezeichnet wird. Die Pfadwahrscheinlichkeiten sind $p(R) = 0,262$ und $p(NR) = 0,738$.

Das bedeutet für ein Ergebnis, bei dem drei Raucher vorkommen, bei dem also neben dem Diagramm eine $3$ steht und gilt $X = 3$, dass zwei Nichtraucher zu berücksichtigen sind. Es würde sich eine folgende Rechnung für die Ergebniswahrscheinlichkeit ergeben: $$ P(X=3) = p(R) \cdot p(R) \cdot p(R) \cdot P(NR) \cdot p(NR) \\ P(X=3) = p(R)^3 \cdot p(NR)^2 $$ Die Wahrscheinlichkeit ist bei jedem Pfad mit drei Rauchern dieselbe, egal an welcher Stelle des Pfades die Raucher stehen. Mit anderen Worten: $ P(R,R,R,NR,NR) = P(NR,R,R,NR,R) = ...$

Für die Berechnung der Ereigniswahrscheinlichkeit muss dann beachtet werden, auf wie vielen Pfaden das Ergebnis erreicht wird.

Damit folgt für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau einen Raucher: \begin{align} P(X=1) &= 5 \cdot 0,262 \cdot 0,738^4 \\ \\ P(X=1) &= 0,39 \end{align}

Mindestens ein Raucher kommt auf jedem Pfad vor, bis auf den letzten, auf dem fünf Nichtraucher auftauchen. Hier berechnet man also die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\text{kein Raucher}$. \begin{align} P(X \geq 1) &= 1 - P(X=0) \\ \\ P(X \geq 1) &= 1 - 0,738^5 \\ \\ P(X \geq 1) &= 0,781 \end{align}

Höchstens zwei Raucher betrifft $kein \, R$ (ein Pfad), $ein \, R$ (fünf Pfade) und $zwei \, R$ (elf Pfade).

\begin{align} P(X \leq 2) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\ \\ P(X \leq 2) &= 0,738^5 + 5 \cdot 0,262 \cdot 0738^4 + 11 \cdot 0,262^2 \cdot 0,738^3 \\ \\ P(X \leq 2) &= 0,911 \end{align}

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